Ha escrito para importantes conjuntos de todo el mundo, como la Filarmónica de Berlín, la Filarmónica de Los Ángeles, la Filarmónica de Nueva York, la Sinfónica de Londres, la Orquesta de Minnesota y la Orpheus Chamber Orchestra. La música de Norman ha sido defendida por algunos de los directores más eminentes de la música clásica, como Gustavo Dudamel , Simon Rattle, Kirill Petrenko, Klaus Mäkelä, Dalia Stasevska, John Adams y David Robertson.

Norman ha sido dos veces finalista del Premio Pulitzer, fue Compositor del Año 2017 de Musical Americay ha ganado el Premio Grawemeyer, el Premio de Roma, el Premio de Berlín y una Beca Guggenheim. Ha sido compositor residente del Carnegie Hall, la Orquesta de Cámara de Los Ángeles, la Sinfónica de Utah, el Proyecto de Orquesta Moderna de Boston y la Ópera de Filadelfia. Su obra orquestal a gran escala Play fue descrita en The New York Times como una "impresionante obra maestra" y "una revolución en la música". Su obra orquestal más reciente, Sustain, fue elogiada como "una nueva obra maestra americana" por The New Yorker y le valió a Gustavo Dudamel  y a la Filarmónica de Los Ángeles un Grammy por su grabación para Deutsche Grammophon.

Como educador comprometido, Norman disfruta ayudando a personas de todas las edades a explorar y crear música. Imparte clases en la Universidad del Sur de California y en la Juilliard School, y está encantado de ser el director del Programa de Becas para Compositores de la LA Phil para compositores de secundaria.